Descompunerea numerelor naturale poate fi data in diferite moduri: ca produs al factorilor primi, ca suma a puterilor lui doi si descompunere aditiva. Acestea vor fi explicate in detaliu mai jos.
O proprietate utila a puterilor lui doi este ca puteti converti un numar zecimal intr-un numar binar cu ajutorul acestora. De exemplu, 7 (numarul din sistemul zecimal) este echivalent cu numarul 111, deoarece 7=(2^2) + (2^1) + (2^0).
Numerele naturale sunt folosite pentru a numara
Numerele naturale sunt numerele cu care obiectele pot fi numarate si numerotate. In cele mai multe cazuri, se considera ca numerele naturale incep de la 1. Aceste numere sunt predate la scoala si sunt utile in aproape toate activitatile vietii de zi cu zi.
Modalitati de a descompune numerele naturale
Dupa cum am mentionat anterior, trei moduri diferite de a descompune numerele naturale vor fi prezentate mai jos.
Descompunerea ca produs al factorilor primi
Fiecare numar natural poate fi exprimat ca produs al numerelor prime. Daca numarul este deja prim, descompunerea lui este insasi inmultita cu unu.
Daca nu, se imparte la cel mai mic numar prim cu care este divizibil (poate fi de una sau mai multe ori), pana cand se obtine un numar prim.
De exemplu:
5 = 5*1.
15 = 3*5.
28 = 2*2*7.
624 = 2*312 = 2*2*156 = 2*2*2*78 = 2*2*2*2*39 = 2*2*2*2*3*13.
175 = 5*35 = 5*5*7.
Descompunerea ca suma a puterilor lui 2
O alta proprietate interesanta este ca orice numar natural poate fi exprimat ca suma de puteri a lui 2. De exemplu:
1 = 2^0.
2 = 2^1.
3 = 2^1 + 2^0.
4 = 2^2.
5 = 2^2 + 2^0.
6 = 2^2 + 2^1.
7 = 2^2 + 2^1 + 2^0.
8 = 2^3.
15 = 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0.
Descompunere aditiva
O alta modalitate de a descompune numerele naturale este luand in considerare sistemul lor de numerotare zecimala si valoarea locului fiecarei cifre.
Acest lucru se obtine luand in considerare cifrele de la dreapta la stanga si incepand cu unitate, zece, suta, mii unitate, zece mii, suta de mii, milion unitate etc. Aceasta unitate este inmultita cu sistemul de numerotare corespunzator.
De exemplu:
239 = 2*100 + 3*10 + 9*1 = 200 + 30 + 9.
4893 = 4*1000 + 8*100 + 9*10 + 3*1.
Exercitii si solutii
Luati in considerare numarul 865236. Aflati descompunerea lui in produsul numerelor prime, suma puterilor lui 2 si descompunerea lui aditiva.
Descompunerea in produs al numerelor prime
-Deoarece 865236 este par, puteti fi sigur ca cel mai mic prim cu care este divizibil este 2.
-Impartind la 2 obtineti: 865236=2*432618. Din nou se obtine un numar par.
-Continuati sa impartiti pana cand obtineti un numar impar. Apoi: 865236=2*432618=2*2*216309.
-Ultimul numar este impar, dar este divizibil cu 3 deoarece suma cifrelor sale este.
-Deci, 865236=2*432618=2*2*216309=2*2*3*72103. Numarul 72103 este prim.
-Deci descompunerea dorita este ultima.
Descompunerea in suma a puterilor lui 2
-Cautati cea mai mare putere a 2 care este cea mai apropiata de 865236.
-Acesta este 2^19 = 524288. Acum acelasi lucru se repeta pentru diferenta 865236 – 524288 = 340948.
-Cea mai apropiata putere in acest caz este 2^18 = 262144. Urmeaza acum 340948-262144 = 78804.
-In acest caz, cea mai apropiata putere este 2^16 = 65536. Continuati 78804 – 65536 = 13268 si obtineti ca cea mai apropiata putere este 2^13 = 8192.
-Acum cu 13268 – 8192 = 5076 si obtineti 2^12 = 4096.
-Atunci cu 5076 – 4096 = 980 si avem 2^9 = 512. Urmeaza cu 980 – 512 = 468, iar cea mai apropiata putere este 2^8 = 256.
-Acum vine 468 – 256 = 212 cu 2^7 = 128.
-Atunci, 212 – 128 = 84 cu 2^6 = 64.
-Acum 84 – 64 = 20 cu 2^4 = 16.
-Si in final 20 – 16 = 4 cu 2^2 = 4.
In cele din urma trebuie sa:
865236 = 2^19 + 2^18 + 2^16 + 2^13 + 2^12 + 2^9 + 2^8 + 2^7 + 2^6 + 2^4 + 2^2.
Descompunere aditiva
Identificand unitatile, avem ca unitatea corespunde cu numarul 6, cu zece la 3, cu suta cu 2, cu o mie cu 5, cu zece mii cu 6 si cu o suta cu 8.
Mai tarziu,
865236 = 8*100.000 + 6*10.000 + 5*1.000 + 2*100 + 3*10 + 6
= 800.000 + 60.000 + 5.000 + 200 + 30 + 6.
